本单元教学包括比例的意义和基本性质，正比例和反比例的意义，以及比例的应用三部分内容。其中比例知识属于“数与代数”领域里。在知识的链接上起着重要的作用。比例是小学数学研究数与代数的最后一个知识点，是前面学习的一个综合应用，是数与计算的发展。同时又是进一步学习中学数学、物理、化学的知识基础。例如：中学将学习正比例函数、反比例函数、三角函数等等。这些知识的基础就是比和比例。另外许多物理公式是用比和比例的形式出现的，用比值法定义物理量，中学物理教材中，用比值法定义的物理量很多，有密度，加速度，电场强度，等等；由此我们可以看出比例知识的重要性。

　　谈到数与代数，首先我们一起回顾一下。“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。小学阶段“数与代数”主要研究以下内容： 数的认识 整数、小数、分数、百分数的有关概念，包括负数的初步认识。 为数的运算提供理论基础 数的运算 整数、小数、分数的四则运算，包括四则运算的意义、计算方法、运算定律及其应用。 最基本的数学技能 式与方程 用字母表示数、简单的方程及其应用。 是数与运算的进一步抽象。 常见的量 长度、面积、体积、容积、质量、时间等计量单位的进率，以及同一种量不同单位的改写。 数与运算的运用。 比和比例 比和比例的基本知识及其应用，以及正反比例的概念。 研究数量与数量之间的关系，是数与运算的发展。 数学思考 怎样寻找规律，怎样画图或列表帮助思考，解决问题。 建立数量关系模型，指向于实际问题的解决。 （看表格）数与代数研究数的认识、数的计算、式与方程、常见的量、比和比例、数学思考这些内容。我们看比和比例这部分，要掌握比和比例的基本知识及其应用，以及正反比例的概念。主要研究数量与数量之间的关系，是数与运算的发展。渗透函数思想，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。

　　比和比例这部分知识教材分别放在六年级的两个学期中，比例的知识生长点就是比，梳理教材发现这样一条线索，学生首先理解除法的意义，然后学习分数，包括分数的意义与基本性质，分数与除法的关系，分数乘、除法的计算方法等知识，在此基础上来认识比，研究比的意义和比的基本性质。教材把比的最基础知识提前安排在第十一册分数除法这个单元中教学，既体现比与分数有密切联系，又加强知识间的内在联系，为学习比例知识，打下较好的基础。

　　传统的算术教材在讲比的意义时，只强调比的一种情况，即两个同类量的倍数关系。但在实际应用中，经常要用到比的另一种情况，即不同类量的比，所以教材中，既讲同类量的比，又讲不同类量的比。这样，进入中学后就便于理解物理等学科中经常出现的不同类量的比。如路程和时间的比，质量和体积的比等。当然，不同类的量相比，有关联的才行。这时，比的结果产生了新的量，例如，路程和时间的比就形成速度，质量和体积的比就形成密度。

　　研究完比的相关知识后在第十二册教材安排了比例这个单元。比例是在比的知识基础上并结合一些常见的数量关系学习的。到了中学学生就要学习正比例函数、反比例函数等知识。

　　分析小学阶段研究正比例、反比例和中学学习的正比例函数、反比例函数这两个知识之间的主要区别体现在，小学阶段研究的重点是借助数量关系发现在数量的变化之间存在着一种不变的量，也就是定量，根据定量来判断比例关系。研究的方法属于不完全归纳法例如：一辆汽车2小时行驶120千米，4小时行驶240千米，5小时行驶300千米，通过计算发现，每小时的速度都是60千米，速度不变，再进一步观察，又发现时间扩大了多少倍，路程也相应扩大了多少倍；反之也是同样的变化规律。然后进一步研究其它的数量关系，发现也存在一样的变化规律，从而认识成正比例的两个量，知道它们的关系叫做正比例关系。学习的重点是利用定量来判断数量之间的比例关系，解决一些简单的实际问题，扩充解决问题的策略。到了中学的学习是在已知两个数量的比例关系前提下，重点研究变量之间的关系。学习的方法是完全归纳法。

　　与人教版旧教材相比：增加了认识正比例关系的图像、综合运用比例尺及有关知识作图、图形的放大与缩小等教学内容。新增内容的“课标”依据：课标在第二学段对数与代数中明确提出：“能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。”；“能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似”。在教学中教师要给予充分的重视。

　　分析本单元，发现数学的核心思想就是函数思想

　　1、什么是函数

　　函数是近代数学的重要概念之一，在现代科学技术中有广泛的应用，是中学数学学习的一个重要内容。在小学，主要是通过一些知识的学习，渗透函数思想。

　　函数是表示两个变量之间的一种关系，即：当一个变量取一个定值的时候，另一个变量也会有唯一的一个值与这个取值相对应。那么前者称之为自变量，后者称之为因变量。（要领：当自变量取一个定值时，因变量必须是唯一的值与那个自变量的取值对应）

　　2、 函数思想揭示了事物运动变化的规律，反映事物间的相互关系，它的可贵之处在于它是用运动、变化的观点去反映客观事物数量之间的相互联系和内在规律。函数的表示方法有：语言描述法、表格法、图像法和解析法等，函数思想是贯穿在整个中学数学中的最重要的思想方法。

　　3、 关于正比例函数、反比例函数

　　两个变量x，y之间的关系式可以表示y=kx（k为常数，且k≠0），y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式。当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大． 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．

　　两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　当 k >０时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数（即在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小）

　　当k <０时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数（即在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大）

　　4、 明确小学阶段教材中所涉及的函数思想。

　　梳理1-6年级教材，不难发现函数思想在小学数学各个年级中紧紧围绕着变量进行不同程度的渗透，而且渗透的过程是一个循环往复、螺旋上升的过程。

　　① 在计算中渗透函数思想

　　第一册P99页

　　这在一年级的9的进位加法，不仅仅关注学生计算的正确与否，还要引导学生观察每组题的规律，使学生体会到每组数之间的联系，即当一个加数不变时，另一个加数增加或减少，和随之发生变化。在处理教材时我们如果不能发现其中所蕴含的函数思想，往往只是让学生分别算一算9+2=？9+6=？9+4=？说说计算的方法，然而一些有经验的老师，就会在计算后引到观察这些加法算式中，问：在这些加法题中有一个数一直没有变，你知道是几吗？再看2、6、4、8这些数和它们的结果，你能发现什么？引到学生看到加数与和的变化。

　　第一册P113练习第3题

　　再例如本册书P38页第13题，利用比例的基本性质，内项积等于外项积计算，内项积是40，思考都有哪两个数相乘等于40？学生能列举所多结果，自然的发现两个因数一个变化另一个也随之发生相反变化。 像这样的例子还有很多很多。

　　② 图形的周长、面积公式――变量的渗透

　　从三年级开始学习长方形的周长计算，教材中不仅安排了文字公式，还介绍字母公式，在各个年级各册均有涉及。例如：圆的周长=圆周率 直径。C=πd,C是d的函数，再如，圆面积公式S=πr,S是r的函数，这些公式中既有一次函数也有二次函数。

　　③ 字母表示数――变量的渗透

　　在用字母表示数的学习中体会变量。例如妈妈比小明大26岁，小明1岁、妈妈27岁、小明2岁，妈妈28岁，小明3岁，妈妈29岁，……小明几岁，都可以求出妈妈的年龄。但这样每次只能得到某一年小明和妈妈的年龄。如用字母表示变量。x来表示小明的年龄，x+25表示妈妈年龄，就能准确、清楚的体会到数量之间变与不变的关系，这就是基本的函数思想。

　　④ 性质――变量的渗透

　　例如： 商不变的性质、分数的基本性质、比的性质。在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变（零除外），根据这些性质进行简算、通分、约分，例如12 4 = 24 8 = 48 16引导学生观察什么数发生了变化？什么数始终不变？这不就是正比例函数吗？

　　⑤ 统计 例如，折线统计图的学习中也向学生渗透了一个量随着另一个量的变化而变化。

　　⑥ 利用数量关系进行变量的渗透。

　　学生易出现的问题：

　　学生在判断正、反比例的量时，易犯的错误是只要找到了两个相关联的量，并且一种量变大，另一种量也变大，就下结论是成正比例的量，比如认为长方形的宽一定，周长和长是成正比例的量，如果进一步考察，就会发现它们的比值并不一定，所以当宽一定时，长方形周长与长不成正比例。再如，在学习中学生有时会产生的一些困惑:当三角形的面积一定时，底和高是否成反比例？学生能判断出底和高是成相关联的量，但三角形的面积=底 宽 2与标准形式x.y=k（一定）相比，多了一个除以2，那是否成反比例呢？对这个问题要鼓励他们通过举实例证明当三角形面积一定时，底和高是成相关联的量，并且乘积一定，因此是成反比例的量。

　　学生在判断正、反比例易出错的地方

　　命题 错误判断 正确判断 当长一定时，长方形的宽与周长 成正比例 不成比例 当圆周率一定时，圆的面积与半径 成正比例 不成比例 全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 成反比例 不成比例 当边长一定时，正方形的面积和边长 成正比例 不成比例 行驶路程一定时，总耗油量与每千米耗量 成反比例 成正比例 分析学生易出现的问题，可以看出在教学中在学习中基本概念的教学显得尤为重要。因为学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对概念的理解和掌握。如解答含正反比例关系的实际问题，首先要对两个量成何比例做出判断，然后依据正比例或反比例数量关系的特点解答。再如，比例尺的应用及图形的放大与缩小，都要依据比例的意义进行相关的计算。所以教学中要通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。同时通过应用，不断加深对这些概念的理解和掌握。

　　课时安排：（略）

　　课时目标：（略）

　　《正比例的意义》

　　教学目标：

　　1．知道什么是成正比例的量，理解正比例关系。

　　2．能运用有关知识初步判断两个量是否成正比例。

　　3．渗透函数的初步思想，建立事物是相互联系的这一辨证观点。

　　教学重点：

　　理解正比例的意义，并能正确判断。

　　教学难点：

　　对“相关联的量”、“相对应的数”等术语含义的理解。

　　教学过程：

　　一、 游戏活动，导入新课

　　包、剪、锤游戏，以赢一次为5分，边玩边记录分数。

　　教学新课层次A：

　　1、统计游戏结果（表一） （请学生回答1-4后）提问：如果赢5次呢？6次呢？如果继续玩下去，你们觉得会如何呢？

　　生：这样下去会无休止。 师：是的，我们就可以把表格的后面用......表示。

　　提问：在这个表格中我们主要关注哪2个量？（赢得次数和得分）那从左往右观察，有什么发现呢？

　　生：A、得分是次数的5倍。从左往右分数逐渐上升。

　　B、（师：能具体说说是什么增加吗？是什么影响什么增加或减少呢？）赢得次数变化影响得分变化

　　师小结：一种量变化影响另一种量也随着变化，说明这两个量之间有关联，我们把这两种量叫做两种相关联的量。什么叫做两种相关联的量？

　　我们已经学过一些常见的数量关系，回忆一下，我们都学过哪些常见的数量关系。

　　这节课，我们进一步来研究这些数量关系中的一些特征。

　　二、 引导观察，探究新知

　　（一） 引导观察

　　老师这有个精美的日记本，能猜出它的价格吗？（5元）买两本，要花多少钱？4本呢？如果老师有40元钱，可以买几本？如果我要买更多本，需要怎样哪？这里的1、2、4、8叫做数量，5、10、20、40叫做总价。

　　出示表一： 请同学们观察这个表格，你能发现什么？

　　①数量变化，总价也随着变化。

　　数量变化，总价也随着变化，这样的两种量，就叫做两种相关联的量。

　　（板书：两种相关联的量）

　　生活中，像这样的两种量很多，想一想，还有那种量也随着另一种量的变化而变化？

　　②数量扩大几倍，总价也扩大几倍。数量缩小几倍，总价也缩小几倍。举例说明。

　　（板书：同扩大或同缩小）

　　③总价除以数量的比值单价都是5元。举例说明。

　　（板书：相对应的两个数 比值一定）

　　小结：总价随着数量的变化而变化，但变化是有规律的，相对应的两个数的比值一定，如果用一个数量关系式表示，可以写作：

　　[板书： 总价/数量=单价（一定）]

　　（二） 合作探究

　　老师这还有两张表格，请同学们认真观察后，任选其中一张表格，小组合作，共同完成老师提出的问题。

　　出示表二：

　　一列火车行驶的时间和所行的路程如下表：

　　出示表三：

　　华丰机械厂加工一批机器零件： 讨论题：

　　1． 表中的两种量是相关联的量吗？这两种量是怎样变化的？

　　2． 写出3组这两种量中相对应的两个数的比，并求出比值，说说 你发现了什么？

　　3． 用数量关系式表示。

　　（三） 归纳总结

　　1.观察这三张表格，你觉得它们有什么共同点？

　　2.揭示正比例的意义。

　　小结：两种变量，在比值一定的情况下，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。

　　3.用字母表示正比例关系式。

　　小结：判断两种量是否成正比例的量，既可以用正比例的意义来判断，也可以用关系式来判断。

　　三、巩固练习，深化提升

　　1.观察表格，判断它们是不是成正比例，为什么？

　　（1） （2） （3） 2.判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。

　　（1）苹果的单价一定,购买苹果的数量和总价。

　　（2）订阅《中国少年报》的份数和钱数。

　　（3）小新跳高的高度和他的身高。

　　（4）圆的直径和它的周长。

　　（5）圆的半径和它的面积。

　　3.趣味思考

　　体育用品商店春季促销:

　　如果买50只篮球以下,每只42元;如果买50只篮球以上(包括50只),每只40元.请问总价同篮球的数量是不是成正比例,如果成正比例,那是在什么情况下?

　　四、全课小结

　　说说本节课的收获。